Funktionell analys är ett område inom matematiken som är studiet av vektorer , vektorrum och deras verksamhet . I huvudsak , enligt Mathematical Atlas , är det en undersökning av oändlig - dimensionella vektorrum inom viss struktur ( t.ex. metriska eller ring struktur ) . Differentialekvationer och andra vektor begrepp kalkyl används i stor utsträckning i studiet av funktionell analys . Den Fakta
En riktig vektorrum är en uppsättning element som har två operationer , addition och skalär multiplikation . Ett metriskt rum är en uppsättning med en metrisk och studiet av metriska rum kallas topologi . Funktionell analys är en avancerad nivå av matematisk analys och har överlägg med många andra typer av matematik , inklusive differentialekvationer , matematisk fysik , numerisk analys , signalbehandling, komplexa och verklig analys, geometri, operatör algebra , topologi och sannolikhet .
Historia
begreppet funktionell analys visades först i 1922 , i titeln på Paul Lévy s Leçons de l' analysera fonctionelle . Sedan dess har begreppet funktionell analys har använts för att beskriva funktionen utrymmen ( särskilt Banach -och Hilbertrum ) . Denna idé härstammar till stor del från arbetet i en produktiv tysk matematiker vid namn David Hilbert som gjorde många viktiga bidrag till området i början till mitten av nittonhundratalet , enligt tidigaste kända användningsområden .
Egenskaper
särskilt funktionell analys är ofta som studiet av kompletta normerade vektorrum . Dessa vektorrum spänner över både reella och komplexa tal och är formellt kallas Banachrum . Ett Hilbertrum ( uppkallat efter David Hilbert ) är ett exempel på ett Banach utrymme och det är ett utrymme vars inre produkt skapar en norm . Funktionell analys normalt introduceras via studier av linjära och normerade rum och följdes av begreppen Hilbertrum och linjära funktionaler . Detta följs sedan av begreppet dubbla Banachrum , Hahn- Banach teori , avgränsas linjära operatörer ( liksom kompakta operatörer , dubbla operatörer och inverterbara operatörer ) , och slutligen de många aspekter av spektralteori .
Function
begreppet Banach -och Hilbertrum är av stor betydelse för ren matematik eftersom de är grundläggande för förståelsen av kvantmekaniken och andra områden av fysiken . Vidare skall enligt Funktionell analys : An Introduction , är den viktigaste rollen för funktionell analys att vidareutveckla matematiska språket för att förstå världen omkring oss . Nittonhundratalet matematik är nästan helt baserad på funktionell analys eftersom det är studiet av " verksamhet " och deras " spektrum . "
Applications
Funktionell analys har många användningsområden . Enligt Mathematical Atlas , dessa inkluderar modeller av grenrör på topologiska linjära rum , allmän topologi ( t.ex. topologiska vektorrum ) och metriska utrymmen ( t.ex. normerade vektorrum , funktioner avstånd , och inre produkter ) .
