Prestandan för Prims algoritm, särskilt dess runtime, påverkas av flera viktiga faktorer:
1. Datastruktur för att representera grafen:
* Adjektivmatris:
* Fördelar: Enkelt att implementera.
* Nackdelar: Kräver `O (V^2)` utrymme (där V är antalet toppar). Att hitta den minsta viktkanten som ansluter trädet till den återstående grafen tar `o (v)` tid i varje iteration av huvudslingan.
* Övergripande runtime med adjacensmatris: `O (V^2)`
* Detta är vanligtvis bäst när man hanterar täta grafer (grafer med många kanter, nära V^2).
* Anställningslista:
* Fördelar: Mer utrymmeeffektiva för glesa grafer (grafer med relativt få kanter).
* Nackdelar: Att hitta den minsta viktkanten som ansluter trädet till den återstående grafen kräver att du söker i listorna. Detta kan förbättras med en prioriterad kö.
* Olika implementeringar med prioriterade köer leder till olika körtider (se nedan).
2. Typ av prioriterad kö som används:
* Utan prioritetskö (linjär sökning):
* Som nämnts ovan är sökning av adjacenslistor linjärt efter minsta viktkanten `o (v)` i varje iteration. Eftersom den huvudsakliga slingan itererar V -tiderna är den totala komplexiteten `O (V^2 + E)`, där E är antalet kanter. För en ansluten graf, E> =V-1, så detta förenklar till `O (V^2)`.
* binär hög (prioriterad kö):
* Fördelar: Standard och relativt enkel att implementera.
* Operations: `Minskningsknappen 'och` Extract-min` ta `o (log v)` tid.
* Övergripande runtime med binär hög: `O (E Log V)`
* Detta är i allmänhet ett bra val för många grafer.
* Fibonacci Heap (prioriterad kö):
* Fördelar: Ger amorterade `o (1)` Tid för `minskningsknappen 'operationer och` o (log v) `för` extrakt-min'.
* Nackdelar: Mer komplex att implementera än en binär hög. De ständiga faktorerna i omkostnaden kan ibland uppväga den teoretiska fördelen i praktiken.
* Övergripande runtime med Fibonacci Heap: `O (E + V Log V)`
* Teoretiskt sett den snabbaste för tillräckligt glesa grafer, men den praktiska prestanda kan vara tveksam på grund av implementeringskomplexiteten.
3. Grafdensitet (antal kanter):
* glesa grafer (E < Fibonacci -högar eller binära högar med adjacenslistor fungerar i allmänhet bättre. `O (E Log V)` (Binary Heap) eller `O (E + V Log V)` (Fibonacci Heap) blir mer fördelaktiga.
* täta grafer (E är nära V^2): "O (V^2)" implementeringen med hjälp av en adjacensmatris kan ibland vara snabbare än de högbaserade tillvägagångssätten eftersom de ständiga faktorerna som är förknippade med högverksamheten blir betydande.
4. Specifik grafstruktur:
* Närvaron av mycket stora eller mycket små kantvikter kan påverka beteendet i prioriteringskön. Om vikterna är heltal inom ett relativt litet intervall, kan specialiserade prioriterade köimplementeringar (t.ex. hinkköer, Radix -högar) potentiellt ge bättre prestanda.
5. Implementeringsdetaljer och kompilatoroptimeringar:
* Detaljer på låg nivå, såsom den specifika implementeringen av prioriteringskön (t.ex. hur noder är kopplade, hur jämförelser utförs), kan ha en mätbar inverkan. Bra kodningspraxis och kompilatoroptimering kan förbättra prestandan.
6. Hårdvara:
* Den underliggande hårdvaran (CPU -hastighet, minnesbandbredd, cachestorlek) kommer alltid att spela en roll, även om det i allmänhet är mindre viktigt än valet av algoritm och datastrukturer.
Sammanfattning av tidskomplexiteter:
| Implementering | Tidskomplexitet |
| ------------------------- | ----------------- |
| Adjucy Matrix | O (V^2) |
| Adjucy List + Linear Search | O (V^2) |
| Adjacency List + Binary Heap | O (e log v) |
| Adjucy List + Fibonacci Heap | O (E + V Log V) |
I praktiken:
* För de flesta praktiska grafer är det en bra balans mellan prestanda och enkel implementering att använda en adjacenslista med en binär höghög.
* Om du har en mycket gles graf och behöver den absolut bästa prestanda, överväg en Fibonacci -hög, men var beredd på den ökade implementeringskomplexiteten och möjligheten att det kanske inte är snabbare i praktiken.
* För täta grafer kan den enkla implementeringen av adjacensmatris vara förvånansvärt effektiv.
* Profilera alltid din kod med realistiska data för att bestämma den bästa implementeringen för dina specifika behov. Teoretisk komplexitet är en guide, men verklig prestanda kan variera.
