Precisionsförlust, den oundvikliga konsekvensen av att representera verkliga siffror med flytande punktnummer för flytande punkt, introducerar flera utmaningar när man försöker uppnå en önskad felnivå i numeriska beräkningar. Här är en uppdelning av de viktigaste utmaningarna:
1. Ackumulering av fel:
* Upprepade operationer: Även små avrundningsfel som förekommer i enskilda operationer (tillägg, subtraktion, multiplikation, uppdelning) kan ackumuleras över många iterationer eller steg i en algoritm. Denna ackumulering kan leda till en betydande avvikelse från det verkliga resultatet, även om varje enskilt fel är litet. Tänk på det som sammansatt ränta, men på fel istället för pengar.
* konditionering av problem: Vissa matematiska problem är i sig känsliga för små förändringar i inmatningsdata. Dessa kallas dåligt konditionerade problem. I sådana fall kan till och med små avrundningsfel förstoras, vilket leder till drastiskt olika lösningar. Linjära system som är nästan singulära är ett klassiskt exempel.
* Operations Order: Ordningen i vilken beräkningar utförs kan påverka slutresultatet på grund av precisionsförlust. Till exempel kan du lägga till ett mycket litet antal till ett mycket stort antal upprepade gånger resultera i att det lilla antalet effektivt ignoreras tills tillräckligt med tillägg har inträffat. Omordna summan för att lägga till de mindre siffrorna först kan förbättra noggrannheten.
2. Förlust av betydelse (avbokningsfel):
* subtrahera nästan lika många: När du subtraherar två siffror som är mycket nära varandra avbryter de ledande betydande siffrorna, vilket bara lämnar de minst betydande (och potentiellt minst exakta) siffrorna. Detta kan dramatiskt minska antalet exakta siffror i resultatet. Detta är särskilt problematiskt i numerisk differentiering eller när man hanterar skillnader mellan nästan identiska lösningar.
* approximationer som förlitar sig på subtraktion: Vissa approximationsmetoder, som begränsade skillnader i begränsning, involverar i sig subtrahera nästan lika många. Detta gör dem benägna att förlust av betydelse och begränsar den uppnåbara noggrannheten.
3. Algoritmers instabilitet:
* algoritmisk känslighet: Vissa algoritmer är mer mottagliga för precisionsförlust än andra. En algoritm kan vara teoretiskt korrekt men numeriskt instabil på grund av hur den hanterar avrundningsfel. Små störningar som introduceras genom avrundning kan leda till stora och oförutsägbara avvikelser från den verkliga lösningen.
* feedback slingor och iterativa processer: Iterativa algoritmer, där resultatet av en iteration används som ingång för nästa, kan förstärka fel. Om ett fel införs i en iteration kan det matas tillbaka till nästa iteration och potentiellt växa exponentiellt, vilket leder till divergens eller felaktig konvergens.
4. Svårigheter att förutsäga och kontrollera fel:
* Komplex felutbredning: Det är ofta svårt att förutsäga hur avrundningsfel kommer att spridas genom en komplex beräkning. Varje operation introducerar en ny källa till fel, och interaktionen mellan dessa fel kan vara svår att analysera.
* Beroende av specifik hårdvara och programvara: Det specifika sättet som flytande punktnummer implementeras i hårdvara och hanteras av programvara kan påverka omfattningen av precisionsförlust. Olika kompilatorer, programmeringsspråk och arkitekturer kan ge något olika resultat för samma beräkning.
* felgränser och analys: Även om det ofta är omöjligt att veta det * exakta * felet på grund av precisionsförlust, kan tekniker som framåtfelanalys, bakåt felanalys och intervallaritmetik ge gränser för det potentiella felet. Dessa analyser kan emellertid vara komplexa och kanske inte alltid vara praktiska.
5. Verifiering och valideringsutmaningar:
* Testbegränsningar: På grund av precisionsförlust kan det vara svårt att verifiera riktigheten hos numeriska algoritmer med traditionella testmetoder. Även om en algoritm ger resultat som verkar "nära" de förväntade värdena, är det möjligt att felen är betydande och växande.
* benchmarking svårigheter: När man jämför olika algoritmer är det viktigt att överväga effekterna av precisionsförlust. En algoritm som verkar vara mer exakt baserad på en begränsad uppsättning testfall kan faktiskt vara mer mottagliga för avrundningsfel i andra situationer.
Strategier för att mildra precisionsförlust:
Även om du inte kan eliminera precisionsförlust helt kan du vidta åtgärder för att minimera dess påverkan:
* Välj stabila algoritmer: Välj algoritmer som är kända för att vara numeriskt stabila och mindre känsliga för avrundningsfel.
* Omordna beräkningar: Överväg noggrant ordningsordningen för att minimera avbokningsfel och felansamling.
* Använd högre precision: Om möjligt, använd dubbelprecision (64-bitars) eller till och med fyrdubbla precision (128-bitars) flytande punktnummer. Detta ger mer betydande siffror och minskar avrundningsfel.
* felanalys: Utför felanalys för att uppskatta den potentiella storleken på fel och förstå hur de förökas.
* Konditionering: Försök att omformulera problemet för att göra det bättre. Detta kan innebära skalning eller omvandling av inmatningsdata.
* Kompensationstekniker: Vissa tekniker, som Kahan -sammanfattningen, är utformade för att kompensera för avrundningsfel i specifika operationer.
* Intervallaritmetik: Använd intervallaritmetik för att spåra utbudet av möjliga värden för varje variabel, med hänsyn till avrundningsfel.
* godtycklig precision Aritmetik: För kritiska beräkningar där mycket hög noggrannhet krävs kan du överväga att använda godtyckliga-precision aritmetiska bibliotek, som gör att du kan ange antalet precisionssiffror. (Men detta kommer till en prestandakostnad.)
Sammanfattningsvis kräver det önskade felet trots det önskade felet trots precisionsförlust en djup förståelse av algoritmen, problemet som löses och begränsningarna av flytande punkt-aritmetik. Noggrann design, felanalys och användning av lämpliga tekniker är avgörande för att minimera effekterna av avrundningsfel och få tillförlitliga resultat.
